Um número complexo pode ser visualmente representado como um ponto localizado no plano complexo. O valor do ângulo φ{displaystyle varphi } é o argumento do número complexo z= x + iy{displaystyle z=~x~+~iy}.

Na matemática, argumento, abreviado como arg, de um número complexo z é o ângulo compreendido entre o eixo real positivo no plano complexo e a reta que une z com a origem deste plano.

Definição[editar | editar código-fonte]

O argumento é definido em dois caminhos equivalentes:

• Geometricamente, na relação do plano complexo, arg z é o ângulo φ no eixo dos reais positivos representado pelo vetor z. O valor numérico é dado pelo ângulo em radianos e é positivo se medido no sentido anti-horário.


• Algebricamente, um argumento de um número complexo z = x + iy é qualquer valor real ϕ{displaystyle phi } tal que

z=x+iy=rcos⁡ϕ+irsin⁡ϕ {displaystyle z=x+iy=rcos phi +irsin phi }

para algum real positivo r. A unidade r é o módulo de z, escrito como

r=|z|=x2+y2 .{displaystyle r=|z|={sqrt {x^{2}+y^{2}}} .}

Os termos amplitude^[1] ou fase^[2] são usados, às vezes, para representar essa igualdade.

Sob ambas as definições, pode ser observado que o argumento de qualquer número complexo diferente de zero tem muitos valores possíveis: primeiramente, como um ângulo geométrico, é evidente que todas as rotações do círculo não alteram o ponto, de modo que ângulos diferentes por um número inteiro múltiplo de 2π radianos (um círculo completo) são os mesmos. Da mesma forma, a partir da periodicidade do seno e cosseno, a segunda definição também tem essa propriedade.

Notação[editar | editar código-fonte]

A notação para o argumento não é universal. Todavia, é comum denotá-lo como arg⁡(z){displaystyle operatorname {arg} (z)}.

Formas de cálculo[editar | editar código-fonte]

O argumento de um número complexo z{displaystyle z,!} pode ser obtido de diversas maneiras, dentre as quais:

• Dado z=a+bi{displaystyle z=a+bi,!} (forma retangular), podemos obter arg⁡(z)=arctan⁡(ba){displaystyle operatorname {arg} (z)=arctan left({frac {b}{a}}right)};

• dado z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθ{displaystyle z=r(cos theta +isin theta )=re^{itheta },!} (forma polar e forma exponencial), temos arg⁡(z)=θ{displaystyle operatorname {arg} (z)=theta }.

• dado z=a+bi{displaystyle z=a+bi!} e sabendo que cosθ=a|z|{displaystyle {costheta }={frac {a}{|z|}}} e senθ=b|z|{displaystyle {sentheta }={frac {b}{|z|}}}, onde |z|{displaystyle |z|!} é distância entre O{displaystyle O!} e o ponto Z{displaystyle Z!}; buscamos os valores de sen e cos e assim acharemos na tabela trigonométrica qual ângulo possui esses valores para seno e cosseno.