Pour un article plus général, voir nombre complexe.

Dans le plan complexe, si z est l'affixe du point M, alors un argument de z correspond à une mesure de l'angle (Ox→,OM→){displaystyle ({overrightarrow {Ox}},;{overrightarrow {OM}})}.

Représentation des valeurs possibles de l'argument, avec sa branche principale hachurée en rouge.

Un argument d’un nombre complexe non nul z est une mesure θ{displaystyle theta } (en radians) de l’angle :

(Ox→,OM→)≡θmod2π{displaystyle ({overrightarrow {Ox}},;{overrightarrow {OM}})equiv theta mod 2pi }

où M{displaystyle M;} est l'image de z dans le plan complexe, c'est-à-dire le point d'affixe z.

On a alors :

z=ρ(cos⁡θ+isin⁡θ)=ρeiθ=|z|eiarg⁡z{displaystyle z=rho (cos theta +mathrm {i} sin theta )=rho operatorname {e} ^{mathrm {i} theta }=left|zright|operatorname {e} ^{mathrm {i} arg z}},

où ρ=|z|{displaystyle rho =left|zright|} représente le module de z{displaystyle z}.

Souvent on note un argument du nombre complexe z{displaystyle z;} de façon simplifiée par :

arg⁡z=θ{displaystyle arg z=theta }

ou plus précisément :

arg⁡z≡θmod2π{displaystyle arg zequiv theta mod 2pi }.

Rappels :

• 
  ∀θ≢π2modπtan⁡θ=ℑ(z)ℜ(z){displaystyle forall theta not equiv {frac {pi }{2}}mod pi quad tan theta ={frac {Im (z)}{Re (z)}}} comme en coordonnées polaires et donc :
  
  
  
  • 
    tan⁡arg⁡z=ℑ(z)ℜ(z)=z−z¯i(z+z¯){displaystyle tan arg z={frac {Im (z)}{Re (z)}}={frac {z-{bar {z}}}{mathrm {i} (z+{bar {z}})}}}, où z¯{displaystyle {bar {z}}} est le conjugué de z{displaystyle z} ;
  
  
  • si la partie réelle de z{displaystyle z} est strictement positive, arg⁡z≡arctan⁡ℑ(z)ℜ(z)≡arctan⁡z−z¯i(z+z¯)mod2π{displaystyle arg zequiv arctan {frac {Im (z)}{Re (z)}}equiv arctan {frac {z-{bar {z}}}{mathrm {i} (z+{bar {z}})}}mod 2pi }.
  
  
  
  


• De manière plus générale, l'argument d'un nombre complexe peut être entièrement déterminé de la façon suivante :
  

  
  arg⁡z=2arctan⁡(ℑ(z)ℜ(z)+|z|){displaystyle arg z=2arctan left({frac {Im (z)}{Re (z)+left|zright|}}right)}, si z{displaystyle z} n'est pas un réel négatif, π{displaystyle pi } sinon.

  
  

Remarque : en anglais, on parle parfois de la phase^[1] ou de l'amplitude^[2] d'un nombre complexe : ph(z){displaystyle mathrm {ph} (z)}.

Propriétés[modifier | modifier le code]

• 
  arg⁡(z1z2)≡arg⁡z1+arg⁡z2mod2π{displaystyle arg(z_{1}z_{2})equiv arg z_{1}+arg z_{2}mod 2pi } si z1{displaystyle z_{1}} et z2{displaystyle z_{2}} sont des complexes non nuls.


• 
  arg⁡(zn)≡narg⁡zmod2π{displaystyle arg(z^{n})equiv narg zmod 2pi } si z{displaystyle z} est un complexe non nul et n{displaystyle n} un entier relatif.


• 
  arg⁡zz′≡arg⁡z′−arg⁡zmod2π{displaystyle arg {frac {z}{z}}'equiv arg z'-arg zmod 2pi }.

En particulier :

• 
  arg⁡(az)≡arg⁡zmod2π{displaystyle arg(az)equiv arg zmod 2pi } si a{displaystyle a} est un réel strictement positif et z{displaystyle z} un complexe non nul.


• 
  arg⁡(az)≡arg⁡z+πmod2π{displaystyle arg(az)equiv arg z+pi mod 2pi } si a{displaystyle a} est un réel strictement négatif et z{displaystyle z} un complexe non nul.

Applications à la géométrie[modifier | modifier le code]

Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes respectives a, b, c et d, alors :

(AB→,CD→)≡arg⁡(d−cb−a)mod2π{displaystyle ({overrightarrow {AB}},;{overrightarrow {CD}})equiv arg left({frac {d-c}{b-a}}right)mod 2pi }

Notes et références[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

• Coordonnées polaires


• Module d'un nombre complexe


• Détermination principale

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