Argument główny liczby zespolonej

Ten diagram Arganda reprezentuje liczby zespolone leżące na płaszczyźnie. Dla każdego punktu na płaszczyźnie arg{displaystyle arg }jest funkcją, która zwraca kąt φ.

Dwie opcje argumentu φ

Główną wartością arg{displaystyle arg }niebieskiego punktu 1+i{displaystyle 1+i}jest π4{displaystyle pi over 4}

Argument liczby zespolonej – miara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną z{displaystyle z} na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: arg⁡(z).{displaystyle arg(z).}

Argument nie jest określony jednoznacznie – dowolne dwa argumenty liczby zespolonej różnią się o wielokrotność 2π.{displaystyle 2pi .} Argument sprowadzony do przedziału [0,2π){displaystyle [0,2pi )}^[1][2][3], lub (−π,π]{displaystyle (-pi ,pi ]}^[4][5], nazywa się argumentem głównym. Oznaczenie: Arg(z).{displaystyle {mbox{Arg}}(z).}

Argument wykorzystuje się m.in. w zapisie trygonometrycznym liczby zespolonej:

a+bi=r(cos⁡ϕ+isin⁡ϕ),{displaystyle a+bi=r(cos phi +isin phi ),}

gdzie r=a2+b2=|z|{displaystyle r={sqrt {a^{2}+b^{2}}}=|z|} jest modułem liczby zespolonej, a ϕ{displaystyle phi } jej argumentem.

Dla liczb o niezerowej części rzeczywistej wartość argumentu może być obliczona ze wzoru:

φ={arctg⁡(ba),gdy a>0arctg⁡(ba)+π,gdy a<0{displaystyle varphi ={begin{cases}operatorname {arctg} left({frac {b}{a}}right),&{mbox{gdy }}a>0\operatorname {arctg} left({frac {b}{a}}right)+pi ,&{mbox{gdy }}a<0end{cases}}}

Dla liczb urojonych, z=bi{displaystyle z=bi}:

φ={12π,gdy b>0−12π,gdy b<0{displaystyle varphi ={begin{cases}{frac {1}{2}}pi ,&{mbox{gdy }}b>0\-{frac {1}{2}}pi ,&{mbox{gdy }}b<0end{cases}}}

Dla liczby z=0,{displaystyle z=0,} argument jest nieokreślony.

Niech a+bi=r(cos⁡ϕ+isin⁡ϕ){displaystyle a+bi=r(cos phi +isin phi )} oraz niech c+di=ρ(cos⁡ψ+isin⁡ψ),{displaystyle c+di=rho (cos psi +isin psi ),} wówczas iloczyn i iloraz liczb zespolonych wyrażają się wzorami:

• (a+bi)⋅(c+di)=r⋅ρ(cos⁡(ϕ+ψ)+isin⁡(ϕ+ψ)){displaystyle (a+bi)cdot (c+di)=rcdot rho (cos(phi +psi )+isin(phi +psi ))}


• a+bic+di=rρ(cos⁡(ϕ−ψ)+isin⁡(ϕ−ψ)){displaystyle {frac {a+bi}{c+di}}={frac {r}{rho }}(cos(phi -psi )+isin(phi -psi ))}

Przypisy[edytuj | edytuj kod]