Het argument θ{displaystyle theta } van een complex getal.

Onder argument van een complex getal z{displaystyle z} verstaat men in de complexe analyse een op een geheel veelvoud na bepaalde hoek die de halve lijn van de oorsprong naar z{displaystyle z} maakt met de positieve reële as, positief gerekend tegen de wijzers van de klok in. Een argument van z{displaystyle z} wordt weergegeven als arg⁡(z){displaystyle arg(z)}. Het argument van z{displaystyle z} met een waarde tussen 0 en 2π{displaystyle 2pi } wordt de hoofdwaarde van het argument genoemd, en wordt wel genoteerd als Arg(z){displaystyle mathrm {Arg} (z)}. De zo bepaalde hoofdwaarde van het argument is gelijk aan de poolhoek van het punt z{displaystyle z} in het complexe vlak, In plaats van de beperking tot waarden in het interval [0,2π),{displaystyle [0,2pi ),} wordt als hoofdwaarde ook wel de waarde in het interval (−π,π]{displaystyle (-pi ,pi ]} gekozen.

De hoofdwaarde van het argument met waarde in het interval (−π,π]{displaystyle (-pi ,pi ]} van het complexe getal z=x+iy{displaystyle z=x+iy} kan als volgt met behulp van de speciaal daarvoor bestemde functie Arctan2 bepaald worden.

Arg(z)=Arctan2(y,x)={arctan⁡(yx)voor x>0arctan⁡(yx)+πvoor x<0,y≥0arctan⁡(yx)−πvoor x<0,y<0+12πvoor x=0, y>0−12πvoor x=0, y<0onbepaaldvoor x=0, y=0{displaystyle mathrm {Arg} (z)=mathrm {Arctan2} (y,x)={begin{cases}arctan({frac {y}{x}})&{mbox{voor}} x>0\arctan({frac {y}{x}})+pi &{mbox{voor}} x<0,ygeq 0\arctan({frac {y}{x}})-pi &{mbox{voor}} x<0,y<0\+{frac {1}{2}}pi &{mbox{voor}} x=0, y>0\-{frac {1}{2}}pi &{mbox{voor}} x=0, y<0\{text{onbepaald}}&{mbox{voor}} x=0, y=0\end{cases}}}

Een complex getal z{displaystyle z} kan met behulp van arg⁡(z){displaystyle arg(z)} en z'n modulus |z|{displaystyle |z|} als volgt worden weergegeven:

z=|z|(cos⁡(arg⁡(z))+isin⁡(arg⁡(z)))=|z|eiarg⁡(z){displaystyle z=|z|(cos(arg(z))+isin(arg(z)))=|z|e^{iarg(z)}}

Als z{displaystyle z} geen zuiver imaginair getal getal is (dus niet op de verticale as ligt), geldt:

tan⁡arg⁡z=ℑ(z)ℜ(z)=z−z¯z+z¯,{displaystyle tan arg z={frac {Im (z)}{Re (z)}}={frac {z-{bar {z}}}{z+{bar {z}}}},}

waarin z¯{displaystyle {bar {z}}} de complex geconjugeerde is van z.{displaystyle z.}